Question

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，使得（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80成立．求实数a的所有可能值．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：方程思想,函数的性质及应用

分析：根据题意，得出△≥0①，x₁+x₂=1-3a②，x₁x₂=2a²-1③；代入（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，求出a的值．

解答： 解：∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，
∴△=（3a-1）²-4（2a²-1）≥0①，
x₁+x₂=1-3a②，
x₁x₂=2a²-1③；
∴（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=3x12+3x22-10x₁x₂
=3(x1+x2)2-16x₁x₂
=3（1-3a）²-16•（2a²-1）=-80，
∴5a²+18a-99=0；
解得a=-

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5

，a=3；
由①得，a≥5，或a≤1；
∴实数a的所有可能值a=-

33

5

．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的应用问题，也考查了判别式的应用问题，是基础题目．