题目内容
已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为
，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：
+
为定值．
（Ⅲ）当
+
为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
（Ⅲ）当
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）由题意可设椭圆的坐标方程为
+
=1（a＞b＞0）．由题意可得
=
，2a=4，及b2=a2-c2=3．即可得出．
（II）当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-
x（k≠0），P（x，y）．直线OP的方程y=kx与椭圆的方程联立可得x2=
，得到|OP|2=x2+y2=
，同理可得|OQ|2=
，
+
=
为定值．当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
（III）当
+
=
定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．OP⊥OQ不一定成立．下面给出分析：
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，可得
+
=
+
=
，满足条件．当直线OP或OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．与椭圆的方程联立可得|OP|2=x2+y2=
，|OQ|2=
，利用
+
=
+
=
．解得kk′=±1．即可判断出．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（II）当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-
| 1 |
| k |
| 12 |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3k2+4 |
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
（III）当
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，可得
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 12 |
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 12[1+(k′)2] |
| 3+4(k′)2 |
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3+4(k′)2 |
| 12[1+(k′)2] |
| 7 |
| 12 |
解答：
（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为
+
=1（a＞b＞0）．
∵离心率为
，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴
=
，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b2=a2-c2=3．
∴椭圆C的标准方程为
+
=1．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-
x（k≠0），P（x，y）．
联立
，化为x2=
，
∴|OP|2=x2+y2=
，同理可得|OQ|2=
，
∴
+
=
+
=
为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此
+
=
为定值．
（III）当
+
=
定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则
+
=
+
=
+
=
，满足条件．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立
，化为x2=
，
∴|OP|2=x2+y2=
，
同理可得|OQ|2=
，
∴
+
=
+
=
．
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵离心率为
| 1 |
| 2 |
∴
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴b2=a2-c2=3．
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-
| 1 |
| k |
联立
|
| 12 |
| 3+4k2 |
∴|OP|2=x2+y2=
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3k2+4 |
∴
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3k2+4 |
| 12(1+k2) |
| 7 |
| 12 |
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
（III）当
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 12 |
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立
|
| 12 |
| 3+4k2 |
∴|OP|2=x2+y2=
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
同理可得|OQ|2=
| 12[1+(k′)2] |
| 3+4(k′)2 |
∴
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3+4(k′)2 |
| 12[1+(k′)2] |
| 7 |
| 12 |
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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| ||
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| ||
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| ||
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|
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