题目内容
20．已知x1，x2∈R，则（x1-e${\;}^{{x}_{2}}$）2+（x2-e${\;}^{{x}_{1}}$）2的最小值为2．分析 本题应用了两点间距离公式，及导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可．
解答 解：由题意可转化为点A（${x}_{1}，{e}^{{x}_{1}}$）与点B（${e}^{{x}_{2}}，{x}_{2}$）间的距离最小值的平方．
点A在函数y=ex上，点B在函数y=lnx上，这两个函数关于y=x对称，所以转化为函数y=lnx与y=x的距离的最小值2倍的平方．
此时${y}^{′}=\frac{1}{x}=1$，
∴y=lnx斜率为1的切线方程为y=x-1，它与y=x的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故原式的最小值为2．
故答案为：2．
点评 本题考查了转化与划归的数学思想．
练习册系列答案
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5．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y-5≤0}\\{2x-y-1≤0}\end{array}\right.$，则z=mx+y（0＜m＜1）的最大值是（ ）
| A． | -1 | B． | 5 | C． | 7 | D． | 2m+3 |
9．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=$\frac{π}{3}$处取得最小值，则函数y=f（$\frac{2π}{3}$-x）的图象关于（ ）中心对称．
| A． | （$\frac{5π}{6}$，0） | B． | （$\frac{2π}{3}$，0） | C． | （$\frac{π}{2}$，0） | D． | （$\frac{π}{3}$，0） |
10．在△ABC中，sinB=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{3}{5}$，则sinC为（ ）
| A． | $\frac{16}{65}$ | B． | $\frac{56}{65}$ | C． | $\frac{63}{65}$ | D． | $\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$ |