题目内容

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，anan+1=2Sn，且a1=1，则2×a1+22×a2+…+22016×a2016=2+22017×2015．

分析 先由题意得到数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，即an=n，再利用错位相减法，求出前2016项的和．

解答 解：∵anan+1=2Sn，
∴anan-1=2Sn-1，
∴an（an+1-an-1）=2an，
∵a1=1，
∴an+1-an-1=2，
∴an+1-an+（an-an-1）=2，
∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴an=n，
当n=1时，满足，
设T2016=2×a1+22×a2+…+22016×a2016=2×1+22×2+…+22016×2016，
∴2T2016=22×1+23×2+…+22016×2015+22017×2016，
∴-T2016=2+22+23+…+22016-22017×2016=$\frac{2（1-{2}^{2016}）}{1-2}$-22017×2016=22017-2-22017×2016=-2-22017×2015
∴T2016=2+22017×2015
故答案为：2+22017×2015

点评 本题考查数列的通项，以及错位相减法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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