Question

（本小题12分）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在这样的圆，．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值，根据题意列方程求解；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

试题解析：（1）由已知得，解得（2分）

∴b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为． （4分）

（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，

由，消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．① （6分）

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0．又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0．②

将①代入②得，

即t2＝(1＋k2)． （8分）

∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，∴r＝＝＝∈(0,1)，

∴存在圆x2＋y2＝满足条件． （10分）

当直线PQ的斜率不存在时，也适合．

综上所述，存在圆心在原点的圆满足条件． （12分）

考点：1、求椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用．