Question

设函数f（x）＝x3－ax（a＞0），g（x）＝bx2＋2b﹣1．

（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；

（2）当b＝时，若函数h（x）＝f（x）＋g（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求实数a的取值范围；

（3）当a＝1，b＝0时，求函数h（x）＝f（x）＋g（x）在区间[t，t＋3]上的最小值．

 

Answer 1

（1）a＝，b＝；（2）（0，）；（3）[h（x）]min＝.

【解析】试题分析：（1）求出f'（x），g'（x），由题意得f（1）＝g（1），且f'（1）＝g'（1），解该方程组即可；（2）记h（x）＝f（x）＋g（x），当a＝1－2b时，h（x）＝，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在（－2，0）内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可；（3）a＝1，b＝0时，h（x）＝f（x）＋g（x）＝，由（2）可知，函数h（x）的单调区间及极值点，按照在区间[t，t＋3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值

试题解析：（1）因为f（x）＝，g（x）＝bx2＋2b﹣1，

所以f′（x）＝x2﹣a，g′（x）＝2bx．

因为曲线y＝f（x）与y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，

所以f（1）＝g（1），且f′（1）＝g′（1）．

即－a＝b＋2b－1，且1﹣a＝2b，

解得a＝，b＝．

（2）当a＝1﹣2b时，h（x）＝（a＞0），

所以h′（x）＝x2＋（1﹣a）x﹣a＝（x＋1）（x﹣a）．

令h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝a＞0．

当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，a） a （a，＋∞）

h′（x） ＋ 0 ﹣ 0 ＋

h（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，＋∞），单调递减区间为（﹣1，a）．

故h（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减．

从而函数h（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，当且仅当

即解得：0<a<．

所以实数a的取值范围是（0，）．

（3）当a＝1，b＝0时，h（x）＝．

所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，＋∞），单调递减区间为（﹣1，1）．

由于h（－2）＝－，h（1）＝－，所以h（﹣2）＝h（1）．

①当t＋3＜1，即t＜﹣2时，

[h（x）]min＝h（t）＝t3－t－1

②当﹣2≤t＜1时，[h（x）]min＝h（1）＝－．

③当t≥1时，h（x）在区间[t，t＋3]上单调递增，[h（x）]min＝h（t）＝t3－t－1．

综上可知，函数h（x）在区间[t，t＋3]上的最小值为

[h（x）]min＝.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值