题目内容

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求证：数列{bn}各项均为奇数．
（1）当n=5时，(1+
2
)5=
C05
+
C15
2
+
C25
(
2
)2+…+
C55
 (
2
)5
=[
C05
+
C25
(
2
)2+
C45
(
2
)4]+[
C15
2
+
C25
(
2
)3+
C55
(
2
)5]
=41+29
2

故a5=29，b5=41所以a5+b5=70
（2）证明：由数学归纳法
（i）当n=1时，易知b1=1，为奇数；
（ii）假设当n=k时，(1+
2
)k=
2
ak+bk，其中bk为奇数；
则当n=k+1时，(1+
2
)k+1=(1+
2
)k(1+
2
) =(
2
ak+bk)(1+
2
)
=
2
(ak+bk)+(bk+2ak)
∴bk+1=bk+2ak，又ak、bk∈Z，所以2ak是偶数，
由归纳假设知bk是奇数，故bk+1也是奇数
综（i）（ii）可知数列{bn}各项均为奇数．
练习册系列答案
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（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）证明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+
2
)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是否依然成立？如果不成立，请用bn表示[(1+
2
)n]（不必证明）
（2009•普陀区二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求证：数列{bn}各项均为奇数．
（2009•普陀区二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈z），a5+b5=（　　）
若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）证明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+
2
)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是否依然成立？如果不成立，请用bn表示[(1+
2
)n]（不必证明）

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