Question

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，不过原点O的斜率为﹣的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点P（2，1）且直线OP平分线段AB．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求△OAB面积取最大值时直线l的方程．

 

 

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）y=﹣

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知设直线l的方程为y=﹣，由题意2a=4，解得a=2，

联立，得（b2+9）x2﹣12nx+4n2﹣4b2=0，

直线OP：x=2y，直线OP平分线段AB，解得b2=3．由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）原点O到直线y=﹣的距离d=，

|AB|=•=•，

△OAB面积S==|n|•=•，

由此能求出△OAB面积取最大值时直线l的方程

试题解析：（Ⅰ）由已知设直线l的方程为y=﹣，

由题意2a=4，解得a=2，

联立，得（b2+9）x2﹣12nx+4n2﹣4b2=0，

△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=﹣，

∵点P（2，1），∴直线OP：x=2y，

∵且直线OP平分线段AB，∴，

即=﹣，解得b2=3．

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）原点O到直线y=﹣的距离d=，

=n，=，

|AB|=•

=•，

∴△OAB面积S==|n|•

=•，

∴当n=时，△OAB面积S取最大值．

∴△OAB面积取最大值时直线l的方程为y=﹣

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．