Question

若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别为3，4，5，则△ABC的“平分线”的条数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：（1）若直线过△ABC的某个顶点；（2）若直线交△ABC的某两条边．

解答：解：∵△ABC三边之长分别为3，4，5，
∴△ABC为直角三角形，设AB=3，AC=4，BC=5．
（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，
假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，
则有BN=NC，此时，AC＞AB，
∴周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；
∴周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；
（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，
设BN=x，则BM=6-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=

4(6-x)

5

，
根据S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
即2x²-12x+15=0，
得x=

6+ 6

2

=3+

6

2

得BN=3+

6

2

，BM=3-

6

2

，
即这样的直线存在，且只有一条，
综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．
故选：B．

点评：本题主要考查直线的性质，正确理解△ABC的“平分线”的定义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，不太容易理解．