Question

8．设正数x，y，z满足不等式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}}{2xy}$+$\frac{{y}^{2}+{z}^{2}-{x}^{2}}{2yz}$+$\frac{{z}^{2}+{x}^{2}-{y}^{2}}{2zx}$＞1，求证：x，y，z是某个三角形的三边的长．

Answer 1

分析 由题意，转化为（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）＞0，由对称性不妨设x≥y≥z，则有x+y-z≥x＞0，z+x-y≥z＞0，得到y+z-x＞0，即可证明．

解答 证明：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}}{2xy}$+$\frac{{y}^{2}+{z}^{2}-{x}^{2}}{2yz}$+$\frac{{z}^{2}+{x}^{2}-{y}^{2}}{2zx}$＞1，x＞0，y＞0，z＞0，两边同乘以2xyz，
∴z（x²+y²-z²）+x（y²+z²-x²）+y（z²+x²-y²）＞2xyz，
∴zx²+zy²-z³+xy²+xz²-x³+yz²+yx²-y³-2xyz＞0，
∴（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）＞0，
由对称性不妨设x≥y≥z，则有x+y-z≥x＞0，z+x-y≥z＞0，
∴y+z-x＞0，
∴x，y，z是某个三角形的三边的长．

点评 本题考查了不等式的性质和三角形的两边之和大于第三边，属于中档题．