题目内容
求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值．
【答案】分析：因为L=a+b+c，c=
，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．
解答：解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，
解法一：a+b+
=L≥2
+
．
∴
≤
．
∴S=
ab≤
（
）2
=
•[
]2=
L2．
解法二：设a=csinθ，b=ccosθ．
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L．
∴c=
．
∴S=
c2sinθcosθ=
．
设sinθ+cosθ=t∈（1，
]，
则S=
•
=
•
=
（1-
）≤
（1-
）=
L2．
点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．
，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．解答：解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，
解法一：a+b+=L≥2+．∴
≤．∴S=
ab≤（）2=
•[]2=L2．解法二：设a=csinθ，b=ccosθ．
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L．
∴c=
．∴S=
c2sinθcosθ=．设sinθ+cosθ=t∈（1，
]，则S=
•=•=（1-）≤（1-）=L2．点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．
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