Question

已知函数对于任意的且满足．

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）若函数在上是增函数，解不等式．

 

Answer 1

（1）0，0；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据已知宜用特殊值法，可令进而求解，在知的前提下，可令进而求解；（2）证明抽象函数的奇偶性，关键在于构造，故可令，从而得出，结合（1）中相关结论，即可证明；（3）由的奇偶性，结合已知可得其上的单调性，再逆用条件将化为，再结合（1）、（2）中所得结论及函数的单调性进行求解.

试题解析：（1）∵对于任意的且满足，

∴令，得到：， ∴，

令，得到：， ∴；

（2）证明：由题意可知，函数的定义域为，关于原点对称，

令，得，

∵，∴，

∴为偶函数；

（3）【解析】
由已知及知不等式可化为，

又由函数是定义在非零实数集上的偶函数且在上是增函数，

∴，即：且，

解得：或且

故不等式的解集为：．

考点：1、抽象函数求值；2、抽象函数奇偶性判断；3、抽象不等式的求解；4、转化思想.