Question

8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{6}}$）．
（Ⅰ）写出圆C的普通方程；
（Ⅱ）设l与C交于A，B两点，弦|AB|=$\sqrt{5}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{6}}）$═$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ，即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），即y=kx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的标准方程：（x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2，圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2-\frac{5}{4}}$，求出k，即可求出求出α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{6}}）$
=2$\sqrt{2}$（cosθcos$\frac{π}{6}$-sinθsin$\frac{π}{6}$）
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{2}$sinθ
∴x²+y²=$\sqrt{6}$x-$\sqrt{2}$y，即x²+y²-$\sqrt{6}$x+$\sqrt{2}$y=0；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），即y=kx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的标准方程：（x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2，
圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2-\frac{5}{4}}$得：k=±1，
∴直线l的倾斜角为45°或135°．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．