Question

1．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F（-c，0），其上顶点为B（0，b），直线BF与椭圆的交点为A，点A关于x轴的对称点为C
（Ⅰ）若点C的坐标为$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，求椭圆的方程．
（Ⅱ）设点O为原点，若直线OC恰好平分线段AB，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点C的坐标为$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程．
（Ⅱ）直线BF的方程为：$y=\frac{b}{c}x+b$，代入椭圆方程，求出C的坐标，可得直线OC的方程为$y=-\frac{b^3}{{2{a^2}c}}x$，线段AB的中点坐标，代入可得a²=3c²，即可求椭圆的离心率．

解答 解：（Ⅰ）因为点C的坐标为$（-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且c=1，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1}\\{{a^2}-{b^2}=1}\end{array}}\right.⇒\frac{9}{{4（{b^2}+1）}}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1⇒4{b^4}-7{b^2}-2=0⇒b=\sqrt{2}$
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）直线BF的方程为：$y=\frac{b}{c}x+b$，
代入椭圆可得：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{{{（x+c）}^2}}}{c^2}=1⇒$$（{a^2}+{c^2}）{x^2}+2{a^2}cx=0⇒{x_1}=0，{x_2}=-\frac{{2{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}$，
从而可得${y_2}=-\frac{b^3}{{{a^2}+{c^2}}}$，则点C为$（-\frac{{2{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}$，$\frac{b^3}{{{a^2}+{c^2}}}）$，
则直线OC的方程为$y=-\frac{b^3}{{2{a^2}c}}x$，线段AB的中点为$（-\frac{{{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}，\frac{{b{c^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}）$，
则有$\frac{{b{c^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=\frac{b^3}{{2{a^2}c}}•\frac{{{a^2}c}}{{{a^2}+{c^2}}}⇒{b^2}=2{c^2}$⇒a²=3c²$⇒e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．