Question

5．已知F₁、F₂ 是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）：的左、右焦点，点Q（-$\sqrt{2}$，1）在椭圆上，线段QF₂ 与y轴的交点M，且点M为QF₂ 中点
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，求△F₁PF₂ 的面积．

Answer 1

分析 （1）设MM（0，y），结合M是线段QF₂ 的中点及Q的坐标求得F₂的坐标，得到c，再由Q在椭圆上列式可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，可知△PF₁F₂为直角三角形，在焦点三角形中由椭圆定义及余弦定理联立求得PF₁、PF₂的值，则△F₁PF₂ 的面积可求．

解答 解：（1）设M（0，y），∵M是线段QF₂ 的中点，
∴F₂（$\sqrt{2}，0$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，可知$P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}=8}\\{P{F}_{1}+P{F}_{2}=4}\end{array}\right.$，解得PF₁=PF₂=2．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}P{F}_{1}•P{F}_{2}=\frac{1}{2}×2×2=2$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆焦点三角形问题，常利用椭圆定义及余弦定理求解，是中档题．