Question

7．在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，O为三角形的外心，以线段OB，OC为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OA，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{OH}$；
（2）用向量法证明：AH⊥BC；
（3）若△ABC的外接圆半径为$\sqrt{2}$，求OH的长度．

Answer 1

分析 （1）运用向量加法的平行四边形法则，即可得到所求；
（2）运用向量的减法和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（3）运用正弦定理分别求得三角形ABC的三边，再由余弦定理可得∠AOB，∠AOC，∠BOC，再由向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由向量加法的平行四边形法则，可得
$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$，
由题意可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
即有$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$；
证明：（2）$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$，
则$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OB}$²=0，
可得AH⊥BC；
（3）在三角形ABC中，由正弦定理可得
$\frac{AB}{sin75°}$=$\frac{BC}{sin45°}$=$\frac{CA}{sin60°}$=2$\sqrt{2}$，
解得AB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=1+$\sqrt{3}$，
BC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
CA=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，
在△OBC中，OB=OC=$\sqrt{2}$，BC=2，
即有∠BOC=90°，
在△OAC中，OA=OC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，
由余弦定理可得cos∠AOC=$\frac{2+2-6}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
可得∠AOC=120°，
在△OAB中，OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=1+$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cos∠AOB=$\frac{2+2-（1+\sqrt{3}）^{2}}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
可得∠AOB=150°，
即有|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}}$
=$\sqrt{2+2+2+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+0+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$
=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查向量的平行四边形法则和向量垂直的条件：数量积为0，以及向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．