题目内容

点A、B是双曲线 $数学公式$ 右支上的两点，AB中点到y轴的距离为4，则AB的最大值为________．

8
分析：设双曲线的右焦点为F，则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值．因此只需要求|AF|+|BF|的值即可．
解答：设双曲线的右焦点为F，则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值．
设A到准线的距离为d₁，B到准线的距离为d₂，则
由双曲线的第二定义可得|AF|=ed₁= $\text{[math]}$ ，|BF|=ed₂= $\text{[math]}$
∵AB中点到y轴的距离为4，双曲线 $\text{[math]}$ 的右准线方程为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴|AF|+|BF|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AB的最大值为8
故答案为：8
点评：本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的第二定义，考查弦的最大值，解题的关键是利用|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值

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