Question

在直三棱柱ADE-BCF中，∠ADE=90°，AD=AE=EF=2，M，N分别是AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积V．

Answer 1

分析：（1）连接BF，则BF过M点，连接CF，取CF的中点G，连NG，可证四边形MNGF为平行四边形，再利用线面平行的判定可得结论；
（2）过A点作AP⊥DF于P点，则AP⊥面CDEF，利用体积公式可求多面体A-CDEF的体积．

解答：（1）证明：连接BF，则BF过M点，连接CF，取CF的中点G，连NG

在△CBF中，NG∥FM，NG=FM
∴四边形MNGF为平行四边形，∴MN∥GF
又∵GF?平面CDEF，MN?平面CDEF
∴MN∥平面CDEF
（2）解：过A点作AP⊥DF于P点，则P为DF的中点，∴AP⊥DF
∵三棱柱为直棱柱
∴AP⊥面CDEF
∴多面体A-CDEF的体积V=

1

3

×2×2

2

×

2

=

8

3

．

点评：本题考查线面平行，考查多面体体积的计算，掌握线面平行的判定方法是关键．