Question

设数列{a_n}满足a₁＝2，a₂＋a₄＝8，且对任意的n∈N^*，都有a_n＋a_n＋2＝2a_n＋1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S₁S_n＝2b_n－b₁，n∈N^*，b₁≠0，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：(1)由n∈N^*，a_n＋a_n＋2＝2a_n＋1，知{a_n}是等差数列，设公差为d，

∵a₁＝2，a₂＋a₄＝8，∴2×2＋4d＝8，解得d＝1.

∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋(n－1)·1＝n＋1.

(2)由n∈N^*，S₁S_n＝2b_n－b₁知，

当n＝1时，有b＝2b₁－b₁＝b₁，

∵b₁≠0，∴b₁＝1，S_n＝2b_n－1.①

当n≥2时，S_n－1＝2b_n－1－1.②

由①－②，得S_n－S_n－1＝2b_n－1－(2b_n－1－1)＝2b_n－2b_n－1，

即n≥2时，b_n＝2b_n－2b_n－1，∴b_n＝2b_n－1，

∴数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴b_n＝2^n－1.

∴a_nb_n＝(n＋1)·2^n－1.

则T_n＝2＋3×2＋4×2²＋…＋n·2^n－2＋(n＋1)·2^n－1，③

2T_n＝2×2＋3×2²＋4×2³＋…＋n·2^n－1＋(n＋1)·2ⁿ，④

③－④，得

－T_n＝2＋2＋2²＋…＋2^n－1－(n＋1)·2ⁿ

＝1＋－(n＋1)·2ⁿ＝－n·2ⁿ，

∴T_n＝n·2ⁿ.