Question

已知偶函数f（x）对定义域的任意x满足：f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=ln（1-x）给出下列四个命题：
①函数f（x）的周期为2；
②函数f（x）的最大值为0；
③当x∈（1，2]时，f（x）=ln（x-1）；
④函数f（x）在每个区间[2k，2k+1），k∈z上单调递减．
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意知f（x）=f（-x）=f（2+x）；从而得到函数的性质，从而对四个命题依次判断．

解答： 解：①∵f（-x）=f（x），且f（2-x）=f（x）；
∴f（x）=f（-x）=f（2+x）；
∴函数f（x）的周期为2；故正确；
②∵当x∈[0，1）时，f（x）=ln（1-x）；
故f_max（x）=0；而f（x）是周期为2的偶函数，
故函数f（x）的最大值取决于f（1）的取值；故不正确；
③当x∈（1，2]时，f（x）=f（2-x）=ln（1-2+x）=ln（x-1）；故正确；
④∵当x∈[0，1）时，f（x）=ln（1-x）单调递减，
又∵函数f（x）的周期为2，
∴函数f（x）在每个区间[2k，2k+1），k∈z上单调递减．故正确；
故答案为：①③④．

点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．