Question

14．设0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sinβ的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\sqrt{1-{{（\frac{1}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}$，
∴$sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．