Question

11．已知椭圆E的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF₁F₂为直角三角形，则椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 通过椭圆的定义可得PF₁、PF₂，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．

解答 解：由题可知：2=$\frac{{PF}_{2}}{{PF}_{1}}$，即PF₂=2PF₁，

又PF₂+PF₁=2a，
∴PF₁=$\frac{2}{3}$a，PF₂=$\frac{4}{3}$a，
由勾股定理可知：（2c）²=（$\frac{2}{3}$a）²+（$\frac{4}{3}$a）²，
即：c²=$\frac{5}{9}$ a²，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

点评 本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．