Question

如图在四棱锥中，底面是菱形，,底面，是的中点，是中点。

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）求与平面所成的角。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（2） 见解析

（3）直线BE与平面PAC所成的角为45⁰ 

【解析】往往有两个中点时，考虑中位线，当两中点不能构成中位线时，考虑构造另一个中点，组成两对中位线。∵ PA⊥平面ABCD 则PA⊥平面ABCD内所有的直线，∴ DF⊥PA，再结合四边形ABCD是菱形，找到另一垂直条件。

（1）取PD中点为M，连ME，MF  ∵ E是PC的中点 

∴ ME是△PCD的中位线∴ MECD   ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB   ∴ 四边形MEBF是平行四边形  …………2分

∴ BE∥MF   …………………3分

∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分

（2）  ∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA……………5分

∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB为正△

∵ F是AB中点  ∴ DF⊥AB   ……………6分

∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分

∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分

（3）连BD交AC与O、连EO   ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC

∵ PA⊥平面ABCD  BO平面ABCD   ∴ BO⊥PA

∵ PA、AC是平面PAC内的两条相交直线  ∴ BO⊥平面PAC  …………9分

∴ EO是BE在平面PAC内的射影 

∴ ∠BEO是BE与平面PAC所成的角  ………………10分

∵ O是AC、BD的中点  ∴ BO=1，EO是△PAC的中位线 ∴ EO=PA=1

∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO==1 ∴ ∠BEO=45⁰

∴ 直线BE与平面PAC所成的角为45⁰