Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄=44，S₇=35．
（1）求{a_n}的通项公式与前n项和公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出a₁=17，d=-4，由此能求出{a_n}的通项公式与前n项和公式．
（2）由由a_n=21-4n≥0，得n≤$\frac{21}{4}$，当n≤5时，T_n=S_n，当n≥6时，T_n=-S_n+2S₅，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=44，S₇=35，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=44}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=35}\end{array}\right.$，解得a₁=17，d=-4，
∴a_n=17+（n-1）×（-4）=21-4n，
S_n=17n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-4）$=19n-2n²．
（2）∵由a_n=21-4n≥0，得n≤$\frac{21}{4}$，
a₅=21-4×5=1，a₆=21-4×6=-3，
数列{|a_n|}的前n项和为T_n，
∴当n≤5时，T_n=S_n=19n-2n²，
当n≥6时，T_n=-S_n+2S₅=2n²-19n+90，
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{19-2{n}^{2}，n≤5}\\{2{n}^{2}-19n+90，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查数列的前n项中各项绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．