题目内容
17．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}kx-k（x≥0）\\{x^2}+2ax-{（{a-2}）^2}（x＜0）\end{array}\right.$，其中a∈R，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的最小值为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 由条件可知f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且-（a-2）2=-k，从而得出a的范围，继而求出k的最小值．
解答 解：当x＜0时，f（x）=（x+a）2-a2-（a-2）2，
∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且-（a-2）2=-k，即k=（a-2）2．
∴-a≥0，即a≤0．
∴当a=0时，k取得最小值4．
故选：D．
点评 本题考查了二次函数的单调性与最值计算，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
3．已知F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}+1$ | D． | $\sqrt{2}+1$ |
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FB}$．