题目内容
20．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，则$\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$的夹角为（ ）| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{3π}{4}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
分析 根据$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，得出|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|①；由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，得出|$\overrightarrow{BA}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|②，由①②求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$的夹角，即可得出$\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$的夹角大小．
解答 解：画出图形，如图所示；
△ABC中，$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
∴|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|①；
又$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=${|\overrightarrow{BC}|}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|②，
由①②得cos2＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$，
且cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞大于0，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$的夹角为$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$的夹角为π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$．
故选：C．
点评 本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求夹角的问题，是综合性题目．
课堂小作业系列答案
黄冈小状元口算速算练习册系列答案
成功训练计划系列答案
倍速训练法直通中考考点系列答案
一卷搞定系列答案
名校作业本系列答案| A． | $\frac{{\sqrt{15}}}{6}$ | B． | $\frac{{\sqrt{14}}}{6}$ | C． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ |
如图，在四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4，$（|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|）|\overrightarrow{BD}$|=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0，则$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{AC}$的值为（ ）