Question

19．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为$\frac{1}{3}$．
（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．

Answer 1

分析 （1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为$\frac{1}{3}$；
4台机器相当于4次独立重复试验，设出现故障的机器台数为X，$X～B（{4，\frac{1}{3}}）$，求出对应概率值，
写出分布列，计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；
（2）设该厂获利为Y万元，Y的所有可能取值为18，13，8，计算对应的概率值，求出分布列与数学期望值．

解答 解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，
在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为$\frac{1}{3}$；
该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，
可设出现故障的机器台数为X，则$X～B（{4，\frac{1}{3}}）$，
$P（{X=0}）=C_4^0{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{16}{81}$，
$P（{X=1}）=C_4^1•\frac{1}{3}•{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{32}{81}$，
$P（{X=2}）=C_4^2•{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}$，
$P（{X=3}）=C_4^3•{（{\frac{1}{3}}）^3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$，
则X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，
则X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则

n	0	1	2	3	4
P（X≤n）	$\frac{16}{81}$	$\frac{48}{81}$	$\frac{72}{81}$	$\frac{80}{81}$	1

∵$\frac{72}{81}≤90%≤\frac{80}{81}$，
∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；
（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，
P（Y=18）=P（X=0）$+P（{X=1}）+P（{X=2}）=\frac{72}{81}$，
$P（{Y=13}）=P（{X=3}）=\frac{8}{81}$，
$P（{Y=8}）=P（{X=4}）=\frac{1}{81}$；
则Y的分布列为：

Y	18	13	8
P	$\frac{72}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

则$E（Y）=18×\frac{72}{81}+13×\frac{8}{81}+8×\frac{1}{81}=\frac{1408}{81}$；
故该厂获利的均值为$\frac{1408}{81}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．