Question

3．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个顶点为A，虚轴的一个端点为B，若直线AB与该双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出AB的斜率，结合直线和渐近线垂直的关系建立方程求出a，b的关系进行求解即可．

解答 解：设A（0，a），B（b，0），
则AB的斜率k=$-\frac{a}{b}$，而双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
∵直线AB与该双曲线的一条渐近线垂直，
∴$-\frac{a}{b}$•$\frac{a}{b}$=-1，即a=b，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{a}=\sqrt{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线垂直的关系建立方程是解决本题的关键．