Question

7．已知命题P：对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p∨q、￢q都是真命题，则q为假命题，p为真命题，进而可得实数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：∵m∈[-1，1]，
∴$\sqrt{{m}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]
对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立，
可得a²-5a-3≥3
∴a≥6或a≤-1． 故命题p为真命题时，a≥6或a≤-1…（5分）
又命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，
∴△=a²-8＞0，即a＞2$\sqrt{2}$，或a＜-2$\sqrt{2}$，…（8分）
∵p∨q、￢q都是真命题
∴q为假命题，p为真命题
从而命题q为假命题时，-2$\sqrt{2}$$≤\\;a≤$a≤2$\sqrt{2}$，…（10分）
∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为-2$\sqrt{2}$$≤\\;a≤$a≤-1…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，二次不等式的解法，难度中档．