Question

2．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{5}$+y²=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=$\sqrt{2}$|PF|，则满足条件的点 P的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 设 P（x，y），又F（2，0），由$|{{P}Q}|=\sqrt{2}|{{P}F}|$，得2（x-2）²+2y²=（x-3）²+y²，化简与椭圆方程联立解出即可判断出结论．

解答 解：设 P（x，y），又F（2，0），由$|{{P}Q}|=\sqrt{2}|{{P}F}|$，得2（x-2）²+2y²=（x-3）²+y²，即x²+y²-2x-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2x-1=0\\ \frac{x^2}{5}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化为：2x²-5x=0，解得x=0，x=$\frac{5}{2}$（舍去）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
交点为（0，±1）．
因此满足条件的点P的个数为2．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程、两点之间的距离公式、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．