Question

17．已知两曲线的参数方程分别为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$和$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数）则它们的交点坐标为$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

Answer 1

分析 曲线的参数方程分别为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（y≥0）．由$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），消去参数化为普通方程．代入椭圆方程即可得出．

解答 解：曲线的参数方程分别为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（y≥0）．
由$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），消去参数化为普通方程：x=1+y．
代入椭圆方程可得：3y²+2y-1=0，y≥0，解得y=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{4}{3}$．
则它们的交点坐标为$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．
故答案为：$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．