Question

6．已知函数f（x）=2^x-2^-x，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（-3．+∞）．

Answer 1

分析 通过判定函数f（x）=2^x-2^-x）=2^x-$（\frac{1}{2}）$^x在R上单调递增、奇函数，脱掉”f“，转化为恒成立问题，分离参数求解．

解答 解：∵函数f（x）=2^x-2^-x）=2^x-$（\frac{1}{2}）$^x在R上单调递增，又∵f（-x）=-（2^x-2^-x）=-f（x），故f（x）是奇函数，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0恒成立，⇒对任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）＞f（-4+x）恒成立，
⇒对任意的x∈[1，3]，x²+（t-1）x+4＞0⇒（t-1）x＞-x²-4⇒t-1＞-（x+$\frac{4}{x}）$，
∵$g（x）=x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}=4…（x=2时取等号）$，∴t-1＞-4，即t＞-3．
故答案为：（-3．+∞）

点评 本题考查了函数的单调性、奇函数，恒成立问题，分离参数法，属于中档题．