题目内容
设函数
，
（
为自然对数的底）.
（1）求函数
的极值；
（2）若存在常数
和
，使得函数
和
对其定义域内的任意实数
分别满足
和
，则称直线
：
为函数和的“隔离直线”.试问：函数
和
是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔
|
【答案】
（1）最小值为0
（2）存在唯一的“隔离直线”
【解析】
（1）
当
时，
，当
时，
，当
时，
在
处去的最小值为0
（2）由（1）知当
时，
，（仅当取等号）
若存在“隔离直线”，则存在常数k和b，使得
恒成立
的图像在处有公共点，
因此若存在
的“隔离直线”，则该直线必过这个公共点
设该直线为
恒成立，
恒成立，得
以下证明
，当时恒成立
∴当
时有
为0,也就是最大值为0．从而
,即
恒成立．故函数
和
存在唯一的“隔离直线”．……………12分
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，其中
为自然对数的底数.
的单调区间；
在点
（其中
）处的切线为
，
轴、
轴所围成的三角形面积为
，求
，其中
为自然对数的底数.
的单调区间；
在点
（其中
）处的切线为
，
轴、
轴所围成的三角形面积为
，求
（e为自然对数的底数），则
=（ ）
且
其中
为自然对数的底数。
与
的关系；（Ⅱ）若
在其定义域内为单调函数，求
，若在
上至少存在一点
，使
成立。求实