题目内容
3．在△ABC中．（1）若tanA与tanB是方程6x2-5x+1=0的两个根，求角C；
（2）若C=90°，求sinA•sinB的最大值．
分析 （1）由条件利用韦达定理，两角和差的正切公式，求得 tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（2）由条件利用诱导公式，二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得sinA•sinB的最大值．
解答 解：（1）△ABC中，若tanA与tanB是方程6x2-5x+1=0的两个根，则tanA+tanB=$\frac{5}{6}$，tanA•tanB=$\frac{1}{6}$，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}$=1，∴A+B=$\frac{π}{4}$，∴C=π-A-B=$\frac{3π}{4}$．
（2）若C=90°，则A+B=90°，∴sinA•sinB=sinAsin（90°-A）=sinAcosA=$\frac{1}{2}$sin2A≤$\frac{1}{2}$，
故它的最大值为$\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查韦达定理，两角和差的正切公式，诱导公式，二倍角公式，正弦函数的值域，属于基础题．
练习册系列答案
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13．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx-3sinx取得最小值，则tanθ等于（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | -$\frac{2}{3}$ | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |
14．用红、黄、蓝、绿4种颜色为一个五棱锥的六个顶点着色，要求每一条棱的两个端点着不同的颜色，则不同的着色方案共有 （ ）种？
| A． | 120 | B． | 140 | C． | 180 | D． | 240 |
如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AD=2BC=4，AB=2$\sqrt{3}$，∠BAD=90°，M，O分别为CD和AC的中点，PO⊥平面ABCD．
8．
如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为AB上一点，点P在扇形内（含边界），且$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$（0≤t≤1），则$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$的最大值为（ ）
如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为AB上一点，点P在扇形内（含边界），且$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$（0≤t≤1），则$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$的最大值为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | 1 |