Question

f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=

2

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项第二个因式利用诱导公式变形，再利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，得到f（x）的周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的递增区间；
（2）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b大于a，得到B大于A，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）
=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴y=f（x）的周期为π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，x∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=1，∴sin（2A-

π

6

）+

1

2

=1，即sin（2A-

π

6

）=

1

2

，
∴2A-

π

6

=

π

6

或2A-

π

6

=

5π

6

，即A=

π

6

，
∵a=1，b=

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∴B=

π

4

或

3π

4

，
则C=

7π

12

或

π

12

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．