Question

18．在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H，则MT=b，MH=r=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$即可，即MH²-MT²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，（$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²-b²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，化简得c³-2a²c+a³＜0．

解答 解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H
则MT=b，MH=r=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需
TH＜a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$即可，即MH²-MT²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，
（$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²-b²＜（a-$\frac{{a}^{2}}{2c}$）²，化简得c³-2a²c+a³＜0
⇒e³-2e+1＜0⇒（e-1）（e²+e-1）＜0
∵e＜1，∴e²+e-1＞0⇒e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
椭圆的离心率e的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）

点评 本题考查了椭圆的离心率，关键要借助平面几何知识转化条件，属于难题．