Question

求证：对于任意的正整数n，(1+

2

)n必可表示成

s

+

s-1

的形式，其中s∈N₊．

Answer 1

分析：直接两条二项式定理展开(1+

2

)n，设出整数与无理数部分，通过(

2

-1)n展开，然后利用平方差公式，即可求出所证明的结果．

解答：证明：(1+

2

)n=1+

C

1 n

2

+

C

2 n

(

2

)2+

C

3 n

(

2

)3+…+

C

n n

(

2

)n
设其中的整数项的和为p，含有

2

项的和为Q，
则(1+

2

)n=P+Q，(

2

-1)n=Q-P，
(1+

2

)n=

P2

+

Q2

，
∵Q²-P²=（P+Q）（Q-P）=(1+

2

)n•(

2

-1)n=（2-1）ⁿ=1，
令Q²=s，则P²=s-1．
∴(1+

2

)n=

s-1

+

s

，其中s∈N₊．

点评：本题考查二项式定理的应用，构造法的灵活应用，考查转化思想与计算能力．