Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA的中点，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥P-EDC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，BD相交于点O，连接OE．由三角形中位线定理可得OE∥CP，再由线面平行的判定可得PC∥平面BDE；
（Ⅱ）由E为PA的中点，可求△PCE的面积，证出DO是三棱锥D-PCE的高并求得DO=1，然后利用等积法求得三棱锥P-EDC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE．
由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，
又E为AP的中点，∴OE∥CP，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵E为PA的中点，
∴${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，
即DO是三棱锥D-PCE的高，DO=1，
则${V_{P-CDE}}={V_{D-PCE}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．