Question

2．已知圆O：x²+y²=2，若|$\overrightarrow{OC}$|=1，在圆O上存在A，B两点，有$\overline{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，则|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围是[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]．

Answer 1

分析 由题意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圆心（0，0）半径为r=1的圆，在圆O上存在A，B两点，有$\overline{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即过圆x²+y²=1同一点的两条直线相互垂直圆x²+y²=2交点A，B两点，即可求AB的距离．

解答 解：由题意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圆心（0，0）半径为r=1的圆，在圆O上存在A，B两点，有$\overline{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即过圆x²+y²=1同一点的两条直线相互垂直圆x²+y²=2交点A，B，A₁，B₁点，如图所示，|AB|为最大值，|A₁B₁|为最小值．C为圆上的动点，设C（1，0），可得直线AB₁的方程为y=-x+1，
直线A₁B的方程为y=x-1，
圆x²+y²=2交点A，B，A₁，B₁点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
解得A（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），B₁（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$）
根据对称性：
|AB|的最大值$\sqrt{3}+1$，
|A₁B₁|的最小值$\sqrt{3}-1$．
故答案为：[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，考查了数形结合的思想方法，利用特殊点求解．属于中档题．