Question

将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（　　）

A．

0个

B．

2个

C．

4个

D．

1个

Answer 1

考点：

抛物线的简单性质．

专题：

数形结合．

分析：

根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．

解答：

解：y²=2px（P＞0）

等边三角形的一个顶点位于（2p，0），另外两个顶点在抛物线上，

则当等边三角形关于x轴轴对称时

两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣2p），

每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．

两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，

故选C．

点评：

本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想，主要是利用抛物线和正三角形的对称性．