Question

17．在△ABC中，记∠BAC=x （角的单位是弧度制），△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|sin∠BAC，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=8，4≤S_△ABC≤4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求x的取值范围；
（Ⅱ）就（Ⅰ）中x的取值范围，求函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²x-$\sqrt{3}$的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形的面积公式和向量数量积的计算公式便可得出$1≤tanx≤\sqrt{3}$，根据x为三角形ABC的内角及正切函数的符号即可求出x的取值范围；
（Ⅱ）根据条件及二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式即可得出f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，这样可求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，从而根据正弦函数的单调性即可得出函数f（x）的最大值、最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵∠BAC=x，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$，$4≤{S}_{△ABC}≤4\sqrt{3}$；
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin∠BAC$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosx=8$，S_△ABC=4tanx，
即$1≤tanx≤\sqrt{3}$，
所求的x的取值范围是{x|$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}$}；
（Ⅱ）∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}$，又$f（x）=2\sqrt{3}si{n}^{2}（x+\frac{π}{4}）+2co{s}^{2}x-\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由于$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，所以$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$f（x）_{min}=f（\frac{π}{3}）=2$，$f（x）_{max}=f（\frac{π}{4}）=\sqrt{3}+1$．

点评 考查三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，切化弦公式，以及两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，正弦函数的图象及其单调性，函数最值的求法．