Question

21、△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC，证明∠BAC是直角．

Answer 1

分析：要想证明∠BAC为直角，即AE=EC+EB，由已知AD、AE分别是BC边上的高和中线，想到可添加辅助线构造等腰三角形．

解答：解：如图，过点E作BC的垂线与BA的延长线交于点F，连接CF，
由BE=EC与FE⊥BC，易知三角形FBC为等腰三角形，
∴∠BFE=∠CFE，
又因AD与FE均垂直BC，∴AD‖FE
∴∠BAD=∠BFE
∴∠BAD=∠CFE=∠EAC，
∴A E C F四点共圆，
∴∠ACE=∠AFE=∠BAD=∠EAC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=EC=BE
∴∠BAC=90•

点评：本题的难度较大，特别是添加辅助线的方法不太容易想到，建议大家在做平面几何题的时候，多总结添加辅助线的方法，多做、多想、多归纳、多总结，自然会形成添加辅助线的技巧，本题中构造等腰三角形，将中线和高两个已知条件进行统一，就是作辅助线的常用思路之一．