Question

知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e．
（1）集合M={1，2，3，4}，N={1，2}，若a∈M，b∈N，求e＞

5

2

的概率；
（2）若0＜a＜4，0＜b＜2，求e＞

5

2

的概率．

Answer 1

分析：（1）从M中任取一数为a，从N中任取一数为b，通过列举得到共8种情况，而事件“双曲线的离心率e＞

5

2

”对应

b

a

＞

1

2

，符合条件的有（3，1），（4，1）两种情况，用随机事件的概率公式，可得所求的概率；
（2）作出aob坐标系如图，得事件“0＜a＜4，0＜b＜2”对应的图形是长为4，宽为2的长方形区域，而事件B对应的点（a，b）位于矩形右下方的半个三角形，即图中阴影部分，最后用几何概型的公式，相除即得所求的概率．

解答：解：（1）从M任取一数为a，从N中任取一数为b，有（1，1），（1，2），
（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）共8种情况
记事件A=“双曲线的离心率e＞

5

2

”，则1+

b2

a2

＞

5

4

，

b

a

＞

1

2

，符合条件的有（3，1），（4，1）两种情况，
∴所求的概率为P(A)=

2

8

=

1

4

（2）集合P={(a，b)|

0＜a＜4 0＜b＜2

，P对应的图形是长为4，宽为2的长方形区域（如图），其面积S₁=8，
记事件B={双曲线的离心率e＞

5

2

}，则a＜2b，满足条件的点（a，b）位于图中阴影部分，其面积S₂=4，
∴所求的概率为P(B)=

4

8

=

1

2

点评：本题从两个集合中分别取一个元素，作为双曲线的实半轴和虚半轴，求双曲线离心率大于

5

2

的概率，着重考查了双曲线的离心率和随机事件的概率等知识点，属于基础题．