Question

如图，在斜三棱柱中，是的中点，⊥平面，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明直线和直线垂直，只需证明直线和平面垂直，将其中的一条直线置于与另一条直线垂直的平面内，本题易证面，从而，由已知得四边形是菱形，故，从而可证面，进而证明；（Ⅱ）选三条两两垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，用坐标表示相关点，求两个半平面和的法向量，并求两法向量夹角，通过观察二面角是钝角还是锐角决定余弦值的正负．

试题解析：（Ⅰ）因为⊥平面，所以.又，

所以平面，所以.

因为，所以四边形是菱形，所以.

所以平面，所以． 5分

（Ⅱ）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

，，

设是面的一个法向量，则，

即，令，取.

同理面的一个法向量为． 10分

因为.

所以二面角的余弦值． 12分

考点：1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角.