Question

7．已知f（x）=log_a（a^-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，则（　　）

• A． b=$\frac{1}{2}$且f（a）＞f（$\frac{1}{a}$）
• B． b=-$\frac{1}{2}$且f（a）＜f（$\frac{1}{a}$）
• C． b=$\frac{1}{2}$且f（a+$\frac{1}{a}$）＞f（$\frac{1}{b}$）
• D． b=-$\frac{1}{2}$且f（a+$\frac{1}{a}$）＜f（$\frac{1}{b}$）

Answer 1

分析 利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=log_a（a^-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即log_a（a^x+1）-bx=log_a（a^-x+1）+bx，
∴log_a（a^x+1）-bx=log_a（a^x+1）+（b-1）x，
∴-b=b-1，∴b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=log_a（a^-x+1）+$\frac{1}{2}$x，函数为增函数，
∵a+$\frac{1}{a}$＞2=$\frac{1}{b}$，∴f（a+$\frac{1}{a}$）＞f（$\frac{1}{b}$）．
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．