Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=3，G为△ABC的重心，若AG=$\frac{4}{3}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• B． $\frac{3\sqrt{6}}{16}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\frac{3\sqrt{15}}{4}$

Answer 1

分析 由G为重心，设BE=x，可得BC=2x，可求AE，由余弦定理可得$\frac{A{B}^{2}+B{E}^{2}-A{E}^{2}}{2AB•BE}$=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$，代入可求x的值，进而可求BC，利用余弦定理可求cosB，根据同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：由：G为△ABC的重心，设BE=x，
可得BC=2x（E为BC中点），
由：AG=$\frac{4}{3}$，可得AE=2，
由余弦定理可得：
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{E}^{2}-A{E}^{2}}{2AB•BE}$=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$，
由于：AB=2，AC=3，
可得：$\frac{4+{x}^{2}-4}{2×2×x}$=$\frac{4+4{x}^{2}-9}{2×2×2x}$，整理解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
可得：BC=2×$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$，
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{4+10-9}{2×2×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{10}×$$\frac{3\sqrt{6}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角形重心的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．