Question

一个半径为1的小球在一个棱长为4

6

的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是______．

Answer 1

考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，
易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，
正四面体的棱长为4

6

故小三角形的边长为2

6

小球与一个面不能接触到的部分的面积为

1

2

×4

6

×4

6

×

3

2

-

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=18

3

，
∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是4×18

3

=72

3

故答案为：72

3