Question

7．已知$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{x+1}（a∈R）$在（1，f（1））处的切线经过点（0，1），则a=-1．

Answer 1

分析 首先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后由直线的点斜式写出直线方程，利用切线经过已知点求出a．

解答 解：由已知f'（x）=$\frac{2ax（x+1）-（a{x}^{2}+1）}{（x+1）^{2}}=\frac{a{x}^{2}+2ax-1}{（x+1）^{2}}$，
所以切线的斜率k=$\frac{3a-1}{4}$，f（1）=$\frac{a+1}{2}$，所以切线方程为y-$\frac{a+1}{2}$=$\frac{3a-1}{4}$（x-1），
又切线经过点（0，1），所以1-$\frac{a+1}{2}=\frac{1-3a}{4}$，解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了导数的几何意义，求出切线方程，利用切线经过已知点，求得a，