Question

15．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥E-BDG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，推导出AHGB为平行四边形，从而AH∥BG，由此能证明BG∥面ADEF．
（Ⅱ）推导出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能证明BC⊥面BDE．
（Ⅲ）三棱锥E-BDG的体积V_E-BDG=V_E-BDC-V_G-BDC，由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，
因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且$HG=\frac{1}{2}DC$；-------------（2分）
因为AB∥CD且$AB=2=\frac{1}{2}CD$
所以AB∥HG，且AB=HG，-----------------------（3分）
所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；-----------------------（4分）
因为BG?面PBC，AH?面PBC，所以BG∥面ADEF；-----------------------（5分）
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由题意得$BC=2\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，由题意得$BD=2\sqrt{2}$
所以△BDC中$BD=BC=2\sqrt{2}，CD=4$，由勾股定理可得BD⊥BC---------（7分）
由ADEF为正方形，可得ED⊥AD
由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC?面ABCD，所以ED⊥BC----------------------（9分）
所以BC⊥面BDE-----------------------（10分）
（Ⅲ）因为DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距离d=$\frac{1}{2}DE$=1，
S_△BDC=$\frac{1}{2}×CD×AD$=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
所以三棱锥E-BDG的体积${V_{E-BDG}}={V_{E-BDC}}-{V_{G-BDC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×（2-1）=\frac{4}{3}$-----------------------（12分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．