题目内容
8．设Sn是等差数列{an}前n项和，若a1=2，$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和T10=（ ）| A． | $\frac{8}{9}$ | B． | $\frac{10}{11}$ | C． | $\frac{11}{12}$ | D． | $\frac{32}{33}$ |
分析 Sn是等差数列{an}前n项和，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a1+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{d}{2}$n+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列．利用等差数列的通项公式可得：Sn，再利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：∵Sn是等差数列{an}前n项和，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a1+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{d}{2}$n+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列．
∵$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$的公差为$\frac{1}{2}×2$=1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1．
∴Sn=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和T10=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故选：B．
点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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